小学数学知识点例题讲解—几何中的计数问题 

数长方形GR7作文作文

例1如下图,数一数下列各图中长方形的个数?GR7作文作文

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分析:图(Ⅰ)中长方形的个数与AB边上所分成的线段的 条数有关,每一条线段对应一个长方形,所以长方形的个数等 于AB边 上线段的条数,即长方形个数为:GR7作文作文

4+3+2+1=10(个).GR7作文作文

图(Ⅱ)中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上GR7作文作文

共有线段:2+1=3(条),把AB上的每一条线段作为长,BC边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以图(Ⅱ)中共有长方形为:GR7作文作文

(4+3+2+1)×(2+1)=10×3=30(个). GR7作文作文

图(Ⅲ)中,依据计算图(Ⅱ)中长方形个数的方法:可得长方形个数为:(4+3+2+1)×(3+2+1)=60(个).GR7作文作文

解:图(Ⅰ)中长方形个数为GR7作文作文

4+3+2+1=10(个).GR7作文作文

图(Ⅱ)中长方形个数为:GR7作文作文

(4+3+2+1)×(2+1)=10×3=30(个).GR7作文作文

图(Ⅲ)中长方形个数为:GR7作文作文

(4+3+2+1)×(3+2+1)=10×6=60(个).GR7作文作文

小结:一般情况下,如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点(不包括这条边的两个端点),另一边上有m-1个分点(不包括这条边上的两个端点),通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交,这两组平行线将长方形分为许多长方形,这时长方形的总数为:GR7作文作文

(1+2+3+…+m)×(1+2+3+…+n).GR7作文作文

例2 如右图数一数图中长方形的个数.GR7作文作文

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解:AB边上分成的线段有:5+4+3+2+1=15.GR7作文作文

BC边上分成的线段有:3+2+1=6.GR7作文作文

所以共有长方形:GR7作文作文

(5+4+3+2+1)×(3+2+1)GR7作文作文

=15×6GR7作文作文

=90(个).GR7作文作文

数正方形GR7作文作文

例3数一数下页各个图中所有正方形的个数.(每个小方格为边长为1的正方形)GR7作文作文

分析:图Ⅰ中,边长为1个长度单位的正方形有:2×2=4(个),GR7作文作文

边长为2个长度单位的正方形有:1×1=1(个).GR7作文作文

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所以,正方形总数为1×1+2×2=1+4=5(个).GR7作文作文

图Ⅱ中,边长为1个长度单位的正方形有3×3=9(个);GR7作文作文

边长为2个长度单位的正方形有:2×2=4(个);GR7作文作文

边长为3个长度单位的正方形有1×1=1(个).GR7作文作文

所以,正方形的总数为:1×1+2×2+3×3=14(个).GR7作文作文

图Ⅲ中,边长为1个长度单位的正方形有:4×4=16(个);GR7作文作文

边长为2个长度单位的正方形有:3×3=9(个);GR7作文作文

边长为3个长度单位的正方形有:2×2=4(个);GR7作文作文

边长为4个长度单位的正方形有:1×1=1(个);GR7作文作文

所以,正方形的总数为:1×1+2×2+3×3+4×4=30(个).GR7作文作文

图Ⅳ中,边长为1个长度单位的正方形有:5×5=25(个);GR7作文作文

边长为2个长度单位的正方形有:4×4=16(个);GR7作文作文

边长为3个长度单位的正方形有:3×3=9(个);GR7作文作文

边长为4个长度单位的正方形有:2×2=4(个);GR7作文作文

边长为5个长度单位的正方形有:1×1=1(个).GR7作文作文

所有正方形个数为:GR7作文作文

1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55(个).GR7作文作文

小结:一般地,如果类似图Ⅳ中,一个大正方形的边长是n个长度单位,那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有:n×n=n2(个),边长为2个长度单位的正方形个数有:(n-1)×(n-1)=(n-1)2(个)…;边长为(n-1)个长度单位的正方形个数有:2×2=22(个),边长为n个长度单位的正方形个数有:1×1=1(个).所以,这个大正方形内所有正方形总数为:12+22+32+…+n2(个).GR7作文作文

例4如右图,数一数图中有多少个正方形(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形).GR7作文作文

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分析:为叙述方便,我们规定最小正方形的边长为1个长度单位,又称为基本线段,图中共有五类正方形.GR7作文作文

①以一条基本线段为边的正方形个数共有:GR7作文作文

6×5=30(个).GR7作文作文

②以二条基本线段为边的正方形个数共有:GR7作文作文

5×4=20(个).GR7作文作文

③以三条基本线段为边的正方形个数共有:GR7作文作文

4×3=12(个).GR7作文作文

④以四条基本线段为边的正方形个数共有:GR7作文作文

3×2=6(个).GR7作文作文

⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有:GR7作文作文

2×1=2(个).GR7作文作文

所以,正方形总数为:GR7作文作文

6×5+5×4+4×3+3×2+2×1GR7作文作文

=30+20+12+6+2=70(个).GR7作文作文

小结:一般情况下,若一长方形的长被分成m等份,宽被分成n等份,(长和宽上的每一份是相等的)那么正方形的总数为(n<m):mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+…+(m-n+1)·1GR7作文作文

显然例4是结论的特殊情况.GR7作文作文

例5 如下图,平面上有16个点,每个点上都钉上钉子,形成4×4的正方形钉阵,现有许多皮筋,问能套出多少个正方形.GR7作文作文

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分析 这个问题与前面数正方形的个数是不同的,因为正方形的边不是先画好的,而是要我们去确定的,所以如何确定正方形的边长及顶点,这是我们首先要思考的问题.很明显,我们能围成上图Ⅰ那样正向正方形14个,除此之外我们还能围出图Ⅱ那样斜向正方形4个,图Ⅲ那样斜向正方形2个.但我们不可能再围出比它们更小或更大的斜向正方形,所以斜向正方形一共有4+2=6个,总共可以围出正方形有:14+6=20(个).GR7作文作文

我们把上述结果列表分析可知,对于n×n个顶点,GR7作文作文

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可作出斜向正方形的个数恰好等于(n-1)×(n-1)个顶点时的所有正方形的总数.GR7作文作文

数三角形GR7作文作文

例6 如右图,数一数图中三角形的个数.GR7作文作文

分析 这样的图形只能分类数,可以采用类似数正方形的方法,从边长为一条基本线段的最小三角形开始.GR7作文作文

Ⅰ.以一条基本线段为边的三角形:GR7作文作文

①尖朝上的三角形共有四层,它们的总数为:GR7作文作文

W①上=1+2+3+4=10(个).GR7作文作文

②尖朝下的三角形共有三层,它们的总数为:GR7作文作文

W①下=1+2+3=6(个).GR7作文作文

Ⅱ.以两条基本线段为边的三角形:GR7作文作文

①尖朝上的三角形共有三层,它们的总数为:GR7作文作文

W②上=1+2+3=6(个).GR7作文作文

②尖朝下的三角形只有一个,记为W②下=1(个).GR7作文作文

Ⅲ.以三条基本线段为边的三角形:GR7作文作文

①尖朝上的三角形共有二层,它们的总数为:GR7作文作文

W③上=1+2=3(个).GR7作文作文

②尖朝下的三角形零个,记为W③下=0(个).GR7作文作文

Ⅳ.以四条基本线段为边的三角形,只有一个,记为:GR7作文作文

W④上=1(个).GR7作文作文

所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27(个).GR7作文作文

我们还可以按另一种分类情况计算三角形的个数,即按尖朝上与尖朝下的三角形的两种分类情况计算三角形个数.GR7作文作文

Ⅰ.尖朝上的三角形共有四种:GR7作文作文

W①下=1+2+3+4=10GR7作文作文

W②上=1+2+3=6GR7作文作文

W③上=1+2=3GR7作文作文

W④上=1GR7作文作文

所以尖朝上的三角形共有:10+6+3+1=20(个).GR7作文作文

Ⅱ.尖朝下的三角形共有二种:GR7作文作文

W①下=1+2+3=6GR7作文作文

W②下=1GR7作文作文

W③下=0GR7作文作文

W④下=0GR7作文作文

则尖朝下的三角形共有:6+1+0+0=7(个)GR7作文作文

所以,尖朝上与尖朝下的三角形一共有:GR7作文作文

20+7=27(个).GR7作文作文

小结:尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和,其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数,依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数,直到1为止.GR7作文作文

尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和,它的第一个和恰是尖朝上的第二个和,依次各个和都比上一个和少最大的两个加数,以此类推直到零为止.GR7作文作文

例7页图数一数图中有多少个三角形.GR7作文作文

解:参考例6所总结的规律把图中三角形分成尖朝上和尖朝下的两类:GR7作文作文

Ⅰ.尖朝上的三角形有五种:GR7作文作文

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(1)W①上=8+7+6+5+4=30GR7作文作文

(2)W②上=7+6+5+4=22GR7作文作文

(3)W③上=6+5+4=15GR7作文作文

(4)W④上=5+4=9GR7作文作文

(5)W⑤上=4GR7作文作文

∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个).GR7作文作文

Ⅱ.尖朝下的三角形有四种:GR7作文作文

(1)W①下=3+4+5+6+7=25GR7作文作文

(2)W②下=2+3+4+5=14GR7作文作文

(3)W③下=1+2+3=6GR7作文作文

(4)W④下=1GR7作文作文

尖朝下的三角形共有 25+14+6+1=46(个).GR7作文作文

所以尖朝上与尖朝下的三角形总共有GR7作文作文

80+46=126(个)GR7作文作文