精品小学奥数讲义及例题——盈亏问题 

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《九章算术》第七章介绍了盈亏问题, 这一类问题是把一定数量的物品平均分给若干对象,每个对象少分,则物品有余;如果每个对象多分,则物品不足。所以分物时经常出现盈(有余)、亏(不足)、尽(恰好分完)的情况,所以古人把这类问题称为盈不足问题。Fw6作文库

盈亏问题情况多样,解法巧妙,倍受古人重视,在许多古代算书上留下了不少好题。下面选取其中的一个给同学欣赏:Fw6作文库

题 目Fw6作文库

今有人共买物,Fw6作文库

人出八,盈三;Fw6作文库

人出七,不足四,Fw6作文库

问人数,物价各几何?Fw6作文库

题意:有一群人凑钱买一件物品。如果每人出8枚钱币,就比物价多出3个钱币。如果每人出7枚钱币,就比物价少4个钱币。求人数和钱数各是多少?Fw6作文库

分析:这是属于“一盈一亏”类的问题。当第一次每人出8枚钱币时多3枚,当第二次每人出7枚钱币时不但不多,还要少4枚,即第二次比第一次共少了4+3=7枚。这是由于第二次比第一次每人少出了8-7=1枚钱币。相差7枚,就说明有7÷1=7人。这样物价也就可以算出来了。Fw6作文库

解答:4+3=7(枚)Fw6作文库

8-7=1(枚)Fw6作文库

7÷1=7(人)Fw6作文库

7×8–3=53(枚)Fw6作文库

答:一共有7人,物价为53枚。Fw6作文库

事实上,古代数学家发现,在计算人数(即分物对象的个数)时,还有一个简单易记、琅琅上口的口诀:“有余加不足,大减小来除”。这种算法的绝妙之处在于它几乎可以不动脑筋,只要把几个数按口诀对号入座,马上可以得出答案。Fw6作文库

同学们如果你学会了,有兴趣就试试下面这个题目吧!Fw6作文库

钱几何Fw6作文库

今有散钱不知其数,Fw6作文库

作七十七陌穿之,欠五十凑穿;Fw6作文库

作七十八陌穿之,不多不少。问钱数几何?Fw6作文库

题意:有一些零散的钱币,如果每77枚穿成一串,那么还会剩50枚没穿;如果78枚穿成一串,正好穿完。这些钱币共有多少枚?Fw6作文库

分析与解答:这道题属于“一盈一亏”类的问题。当77枚钱币为一串时,还余50枚没穿,当78枚钱币为一串时,正好穿完。表明原先的每一串77枚,都加上1枚(78-77=1枚)时,余下的50枚刚好被穿完,说明有50串。Fw6作文库

解:串数:50÷(78-77)=50(串)Fw6作文库

钱数:78×50=3900(枚)?或?钱数:77×50+50=3900(枚)Fw6作文库

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盈亏问题的基本数量关系是:(盈+亏)÷两次所分之差=人数;还有一些非标准的盈亏问题,它们被分为四类:1.两盈:两次分配都有多余;2.两不足:两次分配都不够;3.盈适足:一次分配有余,一次分配够分;4,不足适足:一次分配不够,一次分配正好。Fw6作文库

一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问题演变过来的。解题时我们可以记住:Fw6作文库

1.“两亏”问题的数量关系是:两次亏数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数;Fw6作文库

2.“两盈”问题的数量关系是:两次盈数的差÷两次分得的差=参与分配对象总数;Fw6作文库

3.“一盈一亏”问题的数量关系是:盈与亏的和÷两次分得的差=参与分配对象总数。Fw6作文库

【例题1】某校乒乓球队有若干名学生,如果少一名女生,增加一名男生,则男生为总数的一半;如果少一名男生,增加一名女生,则男生为女生人数的一半。乒乓球队共有多少名学生?Fw6作文库

【思路导航】Fw6作文库

(1)由“少一个女生,增加一个男生,则男生为总人数的一半”可知:女生比男生多2人;Fw6作文库

(2)“少一个男生,增加一个女生”后,女生就比男生多2+2=4人,这时男生为女生人数的一半,即现在女生有4×2=8人。Fw6作文库

原来女生有8-1=7人,男生有7-2=5人,共有7+5=12人。Fw6作文库

【例题2】幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分给小朋友,则少4个;如果每个小朋友只发给4个,则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友?共有多少个苹果?Fw6作文库

【思路导航】如果平均分给小朋友,则少4个,说明小朋友人数大于4;如果每个小朋友只发给4个,则教师也能留下4个,说明每人少拿若干个,就少拿4+4=8个苹果。因为小朋友人数大于4,所以,一定是每人少拿1个,有8÷1=8个小朋友,有8×4+4=36个苹果。Fw6作文库

【例题3】幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。如果分给大班的学生每人5个余10个;如果分给小班的学生每人8个缺2个。已知大班比小班多3人,这筐苹果有多少个?Fw6作文库

【思路导航】如果大班减少3人,则大班和小班的人数同样多。这样,大班每人5个就多余3×5+10=25个。由于两班人数相等,小班每人多分3个就要多分(25+2)个苹果,用(25+2)÷(8-5)就能得到小班同学的人数是9人,再用9×8-2就求出了这筐苹果有多少个。Fw6作文库

【例题4】幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友,平均每人分得6块;如果只分给中班的小朋友,平均每人可以多分得4块。如果只分给小班的小朋友,平均每人分得多少块?Fw6作文库

【思路导航】这箱饼干分给小班和中班的小朋友,平均每人分得6块,如果只分给中班的小朋友,平均每人可多分4块。说明中班的人数是小班人数的6÷4=1.5倍。因此,这箱饼干分给小班的小朋友,每位小朋友可多分到6×1.5=9块,一共可分到6+9=15块饼干。Fw6作文库

【例题5】全班同学去划船,如果减少一条船,每条船正好坐9个同学;如果增加一条船,每条船正好坐6个同学。这个班有多少个同学?Fw6作文库

【思路导航】根据题意可知:每船坐9人,就能减少一条船,也就是少9个同学;每船坐6人,就要增加一条船,也就是多出6个同学。因此,每船坐9人比每船坐6人可多坐9+6=15人,15里面包含5个(9-6),说明有5条船。知道了有5条船,就可以求全班人数:9×(5-1)=36人。Fw6作文库